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首先推荐一个写公式的网站：

什么是激活函数

如下图，在神经元中，输入的 inputs 通过加权，求和后，还被作用了一个函数，这个函数就是激活函数 Activation Function。

如果不用激励函数，每一层输出都是上层输入的线性函数，无论神经网络有多少层，输出都是输入的线性组合。 如果使用的话，激活函数给神经元引入了非线性因素，使得神经网络可以任意逼近任何非线性函数，这样神经网络就可以应用到众多的非线性模型中。

激活函数介绍

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• sigmoid函数：$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

sigmoid函数定义域是R，其值域为「0，1」，所以可以用来二分类（1,0），在特征相差比较复杂或是相差不是特别大时效果比较好。

sigmoid函数的导数：$f^{\prime }(x)=f(x)\ast (1-f(x))$，导函数值域为(0，0.25]

sigmoid缺点：

• 激活函数计算量大，反向传播求误差梯度时，求导涉及除法
• 反向传播时，很容易就会出现梯度消失的情况，从而无法完成深层网络的训练
• Sigmoids函数饱和且kill掉梯度
• Sigmoids函数收敛缓慢

sigmoid 原函数及导数图形如下：

由图可知，导数从 0 开始很快就又趋近于 0 了，易造成“梯度消失”现象

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• Tanh函数：$tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

Tanh函数也可以表示为：$tanh(x)=2sigmoid(2x)-1$，其定义域为R，值域为（-1，1）

其导函数为：$(tanh(x){)}^{\prime }=sec{h}^2(x)=1-tan{h}^2(x)$，导函数值域为(0，1]

观察sigmoid和tanh的函数曲线，sigmoid在输入处于[-1,1]之间时，函数值变化敏感(导函数最大)，一旦接近或者超出区间就失去敏感性，处于饱和状态，影响神经网络预测的精度值。tanh的输出和输入能够保持非线性单调上升和下降关系，符合BP网络的梯度求解，容错性好，有界，渐进于0、1，符合人脑神经饱和的规律，但比sigmoid函数延迟了饱和期。

tanh在特征相差明显时的效果会很好，在循环过程中会不断扩大特征效果。

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• ReLU函数：$\varphi (x)=max(0,x)$

RELU特点：

• 输入信号 <0 时，输出都是0，>0 的情况下，输出等于输入
  ReLU 的优点：
• Krizhevsky et al. 发现使用 ReLU 得到的 SGD 的收敛速度会比 sigmoid/tanh 快很多
  ReLU 的缺点：
• 训练的时候很”脆弱”，很容易就”die”了
  例如，一个非常大的梯度流过一个 ReLU 神经元，更新过参数之后，这个神经元再也不会对任何数据有激活现象了，那么这个神经元的梯度就永远都会是 0.
  如果 learning rate 很大，那么很有可能网络中的 40% 的神经元都”dead”了。

其导数为：

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• softmax函数

公式如下：

举个例子来看公式的意思： 就是如果某一个 zj 大过其他 z, 那这个映射的分量就逼近于 1,其他就逼近于 0，主要应用就是多分类。

为什么要取指数，第一个原因是要模拟 max 的行为，所以要让大的更大。第二个原因是需要一个可导的函数。

由于初学，现在有个概念就好，点到为止，下一节介绍由sigmoid函数为基础的LR模型算法。

梯度消失/爆炸

这部分是补充内容。在学习了神经网络后会有更好的理解。

一般来说就是，由于求导后的连乘导致的梯度消失或者爆炸发生。详见下面的链接：

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